Sekretärinnenproblem: Mit der Odds-Strategie zur optimalen Entscheidung

Das Sekretärinnenproblem ist ein faszinierendes mathematisches Problem, das die Kunst der optimalen Entscheidung in einer unsicheren Welt beleuchtet. Es zeigt, wie wir unter bestimmten Bedingungen die beste Kandidatin oder den besten Kandidaten auswählen können, auch wenn die Zahl der Bewerber im Voraus unbekannt ist. Auch wenn es etwas altertümlich klingen mag heutzutage, lohnt es sich, die Grundidee zu verstehen, um menschliche oder organisationale Entscheidungen zu verstehen.

In diesem Artikel erfahren Sie, warum das Sekretärinnenproblem eine Schlüsselrolle in der Entscheidungstheorie spielt, welche mathematische Strategie dahintersteckt, und wie es auf alltägliche Situationen angewendet werden kann. Pardon, dass wir bei der Bezeichnung die weibliche Version nutzen (so ist nun mal der Name) und dann im Beitrag meistens die männliche Version Wir wollen damit das Hin und Her etwas reduzieren, aber es gilt jeweils für alle Geschlechter. .

Inhaltsverzeichnis

1. Was ist das Sekretärinnenproblem?
2. Was ist die 37%-Regel?
3. Was ist das entscheidende Dilemma beim optimalen Stoppproblem?
4. Was ist das Stoppproblem?
5. Wann handelt es sich um ein Dilemma?
6. Anwendung des Sekretärinnenproblems in der Praxis
7. Wie lässt sich das Sekretärinnenproblem lösen?

Was ist das Sekretärinnenproblem?

Das Sekretärinnenproblem, auch bekannt als das optimale Stoppproblem, befasst sich mit der Frage, wie man aus einer Reihe von Bewerbern oder Bewerberinnen die beste Wahl trifft, ohne die Entscheidung rückgängig machen zu können. In jeder Runde muss der Kandidat oder die Kandidatin entweder abgelehnt oder eingestellt werden. Ziel ist es, die beste Bewerberin oder den besten Bewerber zu finden, ohne alle Kandidaten vorher zu kennen.

Mathematisch betrachtet handelt es sich um ein Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Die Herausforderung besteht darin, dass man sich, sobald eine Entscheidung getroffen wurde, nicht mehr umentscheiden kann – ähnlich wie bei der Partnersuche, weshalb dieses Problem manchmal auch als Heiratsproblem bezeichnet wird.

Das Sekretärinnenproblem gehört zu einer Reihe faszinierender mathematischer Rätsel, die oft kontraintuitive Lösungen haben. Ein verwandtes Problem, das ebenfalls die Intuition herausfordert, ist das Ziegenproblem. Beide Probleme zeigen, wie mathematische Analysen zu überraschenden Einsichten in scheinbar einfache Entscheidungssituationen führen können.

Was ist die 37%-Regel?

Die 37-Prozent-Regel, auch bekannt als die optimale Stoppregel, ist eine zentrale Strategie zur Lösung des Sekretärinnenproblems. Sie besagt, dass man bei einer bekannten Anzahl von n Kandidaten die ersten 37 % der Bewerber nur begutachten, aber keinen einstellen sollte. Nach dieser Phase wählt man den ersten Bewerber oder die erste Bewerberin aus, der oder die besser ist als alle bisher gesehenen.

Um dies anschaulicher zu erklären, stellen Sie sich vor, Sie haben 100 Bewerber für eine Stelle. Sie sehen jeden Kandidaten nacheinander und müssen sofort entscheiden: Einstellen oder Ablehnen. Wenn Sie ablehnen, können Sie nicht zurück. Das Ziel ist aber, die beste Bewerberin einzustellen. Wie geht das?

Die optimale Strategie sagt: Schauen Sie sich die ersten 37 Bewerber an, stellen Sie aber keinen ein. Ab dem 38. Bewerber wählen Sie den Ersten aus, der besser ist als alle 37 zuvor. Diese Strategie maximiert die Wahrscheinlichkeit, den besten Kandidaten auszuwählen, auf etwa 37 Prozent.

Warum gerade 37%? Dies ist ein Kompromiss zwischen zwei Risiken:

1. Zu früh stoppen: Wenn Sie zu früh stoppen, haben Sie nicht genug Vergleichsmöglichkeiten.
2. Zu spät stoppen: Wenn Sie zu lange warten, verpassen Sie möglicherweise den Besten.

Mathematisch lässt sich die 37%-Regel wie folgt herleiten:

• Sei n die Gesamtzahl der Kandidaten und k die Anzahl der Kandidaten, die wir ablehnen, bevor wir eine Entscheidung treffen.
• Die Wahrscheinlichkeit, den besten Kandidaten zu wählen, ist dann:
  P(Erfolg) = (k/n) * Σ(i=k+1 to n) (1/i)
• Um das Maximum dieser Funktion zu finden, leiten wir sie nach k ab und setzen die Ableitung gleich Null.
• Die Lösung dieser Gleichung ergibt k ≈ n/e ≈ 0.37n

Hierbei ist e die Eulersche Zahl, eine mathematische Konstante mit dem Wert etwa 2,71828, die in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle spielt.

Ein einfaches Beispiel: Bei 10 Bewerbern würden Sie sich die ersten 3-4 anschauen (37 % von 10), sich den Besten dieser Gruppe merken, und ab dem 4. oder 5. Bewerber den Ersten einstellen, der besser ist als der Beste aus der ersten Gruppe.

So hart das vielleicht auch klingen mag: Aus der ersten Gruppe stellen Sie niemanden ein. Diese Kandidat:innen dienen also gewissermaßen dazu, ihre Entscheidungsfähigkeit zu trainieren. 

Diese Odds-Strategie gibt Ihnen die höchste Chance (etwa 37 Prozent), die beste Bewerberin zu finden. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Strategie nicht garantiert, dass man immer den Besten findet. Sie maximiert lediglich die Wahrscheinlichkeit, dies zu tun. In der Praxis gibt es natürlich oft weitere Faktoren zu berücksichtigen, aber das mathematische Modell bietet einen guten Ausgangspunkt für die Entscheidungsfindung.

Was ist das entscheidende Dilemma beim optimalen Stoppproblem?

Das entscheidende Dilemma beim optimalen Stoppproblem liegt in der Balance zwischen Exploration und Exploitation. Einerseits möchte man genügend Kandidaten sehen, um eine fundierte Entscheidung treffen zu können (Exploration). Andererseits riskiert man, den besten Kandidaten zu verpassen, wenn man zu lange wartet (Exploitation).

Dieses Dilemma spiegelt sich in der 37%-Regel wider: Man lehnt die ersten 37 Prozent der Kandidaten ab, um einen Referenzwert zu etablieren, riskiert dabei aber, den besten Kandidaten zu verlieren, falls dieser in diesen ersten 37 Prozent auftaucht. Das ist das, was ich oben mit Trainingsdaten meinte. 

Was ist das Stoppproblem?

Das Stoppproblem ist ein allgemeinerer Begriff in der Mathematik und Informatik, der sich mit der Frage beschäftigt, wann ein Prozess oder eine Suche beendet werden sollte, um ein optimales Ergebnis zu erzielen. Das Sekretärinnenproblem ist ein spezieller Fall des Stoppproblems.

Im Kontext des Sekretärinnenproblems geht es darum, zu entscheiden, wann man die Suche nach weiteren Kandidaten beenden und sich für den aktuell besten Kandidaten entscheiden sollte. Die Herausforderung besteht darin, den richtigen Zeitpunkt zum „Stoppen“ zu finden, der die Wahrscheinlichkeit maximiert, den besten Kandidaten auszuwählen.

Wann handelt es sich um ein Dilemma?

Eine Dilemmasituation liegt vor, wenn man zwischen zwei oder mehr Alternativen wählen muss, die alle unerwünschte Konsequenzen haben. Im Sekretärinnenproblem entsteht ein Dilemma durch den Konflikt zwischen dem Wunsch, mehr Informationen zu sammeln (durch das Einladen und anschließende Ablehnen von Kandidaten), und dem Risiko, die beste Gelegenheit zu verpassen.

Konkret:

• Wählt man zu früh, hat man möglicherweise nicht genug Kandidaten gesehen, um eine fundierte Entscheidung zu treffen.
• Wartet man zu lange, riskiert man, dass der beste Kandidat bereits abgelehnt wurde.

Dieses Dilemma macht das Sekretärinnenproblem zu einer herausfordernden Aufgabe in der Entscheidungstheorie und Spieltheorie.

Ihre Strategie mit hoher Erfolgswahrscheinlichkeit in der Praxis

Das Sekretärinnenproblem findet in vielen Bereichen des Lebens Anwendung. Ob bei der Bewerbung neuer Mitarbeiter:innen, der Partnersuche oder sogar bei Investmententscheidungen – das Prinzip ist immer dasselbe: Wie viele Optionen sollte man sich ansehen, bevor man sich entscheidet?

Ein Beispiel aus dem Geschäftsleben: Ein Unternehmen, das neue Mitarbeiter einstellen möchte, muss möglicherweise viele Kandidaten begutachten, bevor die beste Wahl getroffen wird. Mit der 37%-Regel kann es die Wahrscheinlichkeit erhöhen, die beste Bewerberin auszuwählen und eine optimale Entscheidung zu treffen.

Bei meiner letzten Mietwohnung bin ich ähnlich vorgegangen, als ich in eine neue Stadt gezogen bin (ich kannte also den Markt nicht). Das Angebot war recht groß in diesem Augenblick und wir haben rund 10 Wohnungen angeschaut und uns jeweils dagegen entschieden. Zugleich haben wir immer klarer eingeengt, was wir genau wollen und was vermutlich für ein gegebenes Budget möglich sein dürfte. Dann haben wir zugeschlagen. Später habe ich die Suche im Immobilien-Portal nochmal gestartet und kam wiederum zur Ansicht, dass wir wohl die optimale Entscheidung getroffen haben (Inzwischen sieht der Mietmarkt anders aus, insofern bitte nicht ärgern). 

Die Anwendung des Sekretärinnenproblems erfordert oft Anpassungen an die spezifische Situation. In der Realität sind die Bedingungen selten so ideal wie in der mathematischen Formulierung. Dennoch bietet das Modell einen wertvollen Rahmen für strategische Entscheidungsfindung.

Wie lässt sich das Sekretärinnenproblem lösen?

Es gibt mehrere Verallgemeinerungen des Sekretärinnenproblems, die es auf komplexere Szenarien anwendbar machen:

• Unbekannte Anzahl von Kandidaten: Hier muss die Strategie dynamisch angepasst werden.
• Mehrere Auswahlmöglichkeiten: Man darf mehr als einen Kandidaten auswählen.
• Kardinalität statt Ordinalität: Die Qualität der Kandidaten wird auf einer kontinuierlichen Skala gemessen, nicht nur durch Rangfolge.
• Kosten der Ablehnung: Jede Ablehnung eines Kandidaten ist mit Kosten verbunden.

Diese Verallgemeinerungen machen das Problem zwar komplexer, aber auch anwendbarer auf eine Vielzahl von realen Entscheidungssituationen. Sie erweitern den Anwendungsbereich des Sekretärinnenproblems von der reinen Mathematik in Bereiche wie Wirtschaft, Personalmanagement und sogar persönliche Entscheidungsfindung.

Das Sekretärinnenproblem, wie es in der Fachliteratur und auf Plattformen wie Wikipedia oder im Spektrum der Wissenschaft diskutiert wird, bleibt ein faszinierendes Beispiel dafür, wie mathematische Modelle praktische Entscheidungsprobleme beleuchten können. Es zeigt, dass selbst in scheinbar zufälligen Situationen optimale Strategien existieren können, die unsere Chancen auf Erfolg erheblich verbessern.